Το Παράδοξο του Monty Hall (γενικευμένο παίγνιο)

ΥΠΟΘΕΣΗ:
Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει την πόρτα που κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίκτης επιλέγει μια πόρτα ενώ ο παρουσιαστής, ο οποίος γνωρίζει πίσω από ποια πόρτα είναι το αυτοκίνητο, ανοίγει μια από τις άλλες δύο πόρτες, η οποία περιέχει μια κατσίκα.

Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή, βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει. Εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει 2 φορές περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο απ’ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή.

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Η προσέγγιση που έχουν οι περισσότεροι αναλυτές απέναντι στο πρόβλημα αυτό είναι επιφανειακή, οπότε δεν υπάρχει και λύση – κατανόηση του προβλήματος σε βάθος. Σε πρώτο επίπεδο βλέπουμε ότι η αρχική επιλογή του παίκτη έχει πιθανότητα 1/3 (αφού δεν έχει καμία ένδειξη για τη θέση του αυτοκινήτου) και τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.
Εάν λοιπόν εμείνουμε στην αρχική μας επιλογή, έστω και αν άνοιξε μια πόρτα που δεν έκρυβε το αυτοκίνητο, οι πιθανότητες μας παραμένουν ίδιες (1/3).
Στην περίπτωση που αποφασίσουμε όμως να αλλάξουμε την αρχική μας επιλογή, αφού μας έχουν ανοίξει μια από τις δύο λανθασμένες επιλογές υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα:

Περίπτωση 1: Το αυτοκίνητο είναι στην πόρτα Α, επιλέγουμε την Α, μας ανοίγει τη Β, αλλάζουμε στη Γ και χάνουμε
Περίπτωση 2: Το αυτοκίνητο είναι στην πόρτα Β, επιλέγουμε την Α, μας ανοίγει τη Γ, αλλάζουμε στη Β και κερδίζουμε
Περίπτωση 3: Το αυτοκίνητο είναι στην πόρτα Γ, επιλέγουμε την Α, μας ανοίγει τη Β, αλλάζουμε στη Γ και κερδίζουμε

Επομένως, αν αλλάξουμε, έχουμε 2/3 (2 στις 3 περιπτώσεις) πιθανότητα να βρούμε το αυτοκίνητο, και αυτό γιατί απορροφάμε την πληροφορία που μας δίνεται όταν ανοίγει η μία πόρτα που θα αποτελούσε λανθασμένη επιλογή.
Βλέπουμε λοιπόν ότι η πιθανότητα που υπήρχε το αυτοκίνητο να κρύβεται πίσω από την πόρτα που άνοιξε μοιράζεται εξίσου στις πόρτες που απομένουν (στην πόρτα 2), αν εξαιρέσουμε την επιλογή του παίκτη.

Για να δούμε όμως τι συμβαίνει αν αντί για 3 πόρτες βάλουμε 4.
Ο παίκτης διαλέγει έστω την πόρτα 1, ο παρουσιαστής του ανοίγει μία πόρτα που θα αποτελούσε λανθασμένη επιλογή (έστω πόρτα 2), και σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση ο παίκτης μας πρέπει να αλλάξει (σε μία από τις πόρτες 3 ή 4) για να έχει περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο (οι πιθανότητες της πόρτας 2 που άνοιξε μοιράζονται εξίσου στις άλλες πόρτες πλην της αρχικής επιλογής του παίκτη).Έστω λοιπόν ότι ο παίκτης διαλέγει την πόρτα 3. Ο παρουσιαστής ξέρει ότι πίσω από την πόρτα 4 δεν είναι το αυτοκίνητο και του την ανοίγει δίνοντας του το δικαίωμα αν θέλει να αλλάξει ξανά την επιλογή του.
Μετά το άνοιγμα της πόρτας 2 και την αλλαγή επιλογής από τον παίκτη, περνάμε πάλι στο πρόβλημα με τις 3 πόρτες. Ο παίκτης μας έχει διαλέξει την 3, ο παρουσιαστής του άνοιξε την 4 ενώ απομένει η 1 (η οποία αποτελεί την αρχική του επιλογή). Σύμφωνα με την επιφανειακή θεώρηση του προβλήματος ο παίκτης πρέπει να αλλάξει πόρτα και να επιστρέψει στην 1, κάτι το οποίο θα ήταν λάθος. Αν ο παίκτης γυρίσει στην αρχική του επιλογή είναι σα να μην έχει απορροφήσει καμία πληροφορία (άνοιγμα της πόρτας 2 και 4) και έχει πιθανότητα 1/4 να έχει κάνει τη σωστή επιλογή.
Πάμε να δούμε που σφάλει η πρώτη επιφανειακή αντιμετώπιση του προβλήματος. Έχουμε τις 4 πόρτες, όπου η κάθε μια έχει ίσες πιθανότητες με τις άλλες να κρύβει το αυτοκίνητο.

Βήμα 1: Ο παίκτης διαλέγει έστω την 1 και ο παρουσιαστής του ανοίγει την 2, η οποία ξέρει ότι θα ήταν λανθασμένη επιλογή. Έτσι οι πιθανότητες της πόρτας 2 μοιράζονται εξίσου στις πόρτες 3 και 4 (όσες απομένουν πλην τις επιλογής του παίκτη).

Βήμα 2: Ο παίκτης αλλάζει επιλογή και παίρνει την πόρτα 3 (όπως βλέπουμε έχει περισσότερες πιθανότητες να κρύβει το αυτοκίνητο από την πόρτα 1) και ο παρουσιαστής του ανοίγει την πόρτα 4, γνωρίζοντας ότι δεν κρύβει πίσω της το αυτοκίνητο. Οι πιθανότητες της πόρτας 4 πρέπει να περάσουν εξ ολοκλήρου στην πόρτα 1 αφού είναι η μόνη πόρτα που έχει μείνει κλειστή και δεν είναι η επιλογή του παίκτη.

Βλέπουμε ότι βάση της αρχικής θεώρησης οδηγούμε τον παίκτη να γυρίσει στην αρχική του επιλογή (πόρτα 1) σαν να μην άνοιξαν ποτέ οι πόρτες 2 και 4, και να κάνει μια επιλογή που θα τον οδηγήσει ουσιαστικά σε πιθανότητες 1/4 (25%) για να πετύχει το αυτοκίνητο.
Το λογικό σφάλμα γίνεται στο Βήμα 2 όταν έχουμε 3 πόρτες (1, 3 και 4) και θεωρούμε ότι η επιφανειακή ανάλυση που κάναμε στην αρχή ισχύει και τώρα που τα ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. Εδώ είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουμε ότι τα ενδεχόμενα πρέπει να είναι ακριβώς ισοπίθανα και δεν είναι ικανή συνθήκη, για να ισχύει η θεώρηση που κάναμε αρχικά, το άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο ενδεχομένων που δεν επιλέγει ο παίκτης να υπερβαίνουν την πιθανότητα του ενδεχομένου που διάλεξε, για να αλλάξει την αρχική επιλογή του (π.χ. Βλέπουμε στο Βήμα 2 ότι ο παίκτης έχει διαλέξει την πόρτα 3 – 37.5% - και παρόλο που η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από κάποια από τις άλλες δύο πόρτες είναι μεγαλύτερη – (37.5 + 25)% - ο παίκτης, αφού ανοίξει η πόρτα 4, δεν πρέπει να αλλάξει την επιλογή του στην πόρτα 1, η οποία αρχικά είχε μικρότερη πιθανότητα να κρύβει το αυτοκίνητο).
Ας εξετάσουμε λοιπόν το πρόβλημα από την αρχή με ανισοπίθανα ενδεχόμενα να δούμε για ποιο λόγο ο παίκτης δεν πρέπει να αλλάζει πάντα την επιλογή του.

Βάση των πιθανοτήτων ο παίκτης θα διαλέξει την πόρτα 1 ως επικρατέστερη στρατηγική αφού είναι πιο πιθανό να είναι η πόρτα που κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παρουσιαστής ανοίγει μια πόρτα που ξέρει ότι αποτελεί λανθασμένη επιλογή (έστω πόρτα 3) και βάση της λανθασμένης λογικής που αναπτύσσεται κατά κόρον για το παράδοξο του Monty Hall, η πιθανότητα να κρύβεται το αυτοκίνητο πίσω από την πόρτα 3 περνάει στην πόρτα 2. Η οποία αποκτά - (30 + 30)% - 60% και ο παίκτης πρέπει να αλλάξει την επιλογή του για να διαλέξει την πόρτα 2 έναντι της αρχικής του επιλογής. Αυτό είδαμε από το προηγούμενο παράδειγμα ότι είναι λάθος και ο παίκτης έχει περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο αν μείνει στην αρχική του επιλογή.
ΓΙΑΤΙ: Εδώ είναι το πολύ λεπτό σημείο στο οποίο γίνεται το λογικό σφάλμα. Οι πιθανότητες των διαφορετικών ενδεχομένων αναφέρονται στην επιλογή της σωστής πόρτας και όχι στην αξία της ως προς το περιεχόμενο της αφού η θέση του αυτοκινήτου είναι καθορισμένη από πριν και δεν αλλάζει (είναι κοινό σφάλμα, κυρίως από άτομα που ασχολούνται με το poker, να μπερδεύονται σε αυτό το σημείο, από συνήθεια να αποδίδουν αξίες στο χέρι – φύλλα τους). Εφόσον οι πιθανότητες αναφέρονται στην επιλογή, όταν τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, μετά την πρώτη επιλογή του παίκτη, ο παρουσιαστής ανοίγει μια πόρτα, η οποία ξέρει ότι αποτελεί λανθασμένη επιλογή, αλλά θα μπορούσε να την έχει διαλέξει ο παίκτης, και έτσι ο παίκτης πρέπει να αλλάξει επιλογή αφού του δόθηκε η ευκαιρία να ανοίξει δύο από τις ενδεχόμενες επιλογές του, και με αυτό τον τρόπο απορροφά την πληροφορία. Όταν τα ενδεχόμενα είναι ανισοπίθανα ο παίκτης ακολουθεί την επικρατούσα στρατηγική, κάνει την επιλογή με τη μεγαλύτερη πιθανότητα, έτσι όταν ο παρουσιαστής του ανοίγει την πόρτα, η οποία γνωρίζει ότι αποτελεί λανθασμένη επιλογή, δεν υποχρεώνει τον παίκτη να αλλάξει την αρχική του επιλογή, γιατί εξ αρχής δε θα τη διάλεγε αυτή την πόρτα. Η πληροφορία που αποκομίζει ο παίκτης είναι ότι καλώς δεν την είχε διαλέξει, ενώ οι πιθανότητες που έκρυβε μοιράζονται αναλογικά (ανάλογα με τη μαθηματική έννοια) στις πόρτες που απομένουν.
Για την απόλυτη κατανόηση του φαινομένου θα δώσουμε ένα τελευταίο παράδειγμα με 4 πόρτες και ανισοπίθανα ενδεχόμενα.

Σε αυτή την περίπτωση ο παίκτης θα ακολουθήσει την επικρατούσα στρατηγική να επιλέξει μία από τις πόρτες με τη μεγαλύτερη πιθανότητα (1, 2 ή 3), έστω την πόρτα 1, και ο παρουσιαστής θα του ανοίξει την πόρτα 2, η οποία ξέρει ότι θα αποτελούσε λανθασμένη επιλογή. Σε αυτή την περίπτωση ο παίκτης πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή, και να διαλέξει την πόρτα 3 γιατί έχει την δυνατότητα να δει το περιεχόμενο από δύο εκ των τριών εν δυνάμει αρχικών επιλογών του (βλέπει το περιεχόμενο από τις πόρτες 2 και 3 αντί να μείνει στην αρχική του επιλογή και να πράξει σαν να μην έχει πάρει καμιά πληροφορία). Στην περίπτωση που ο παίκτης διάλεγε αρχικά την πόρτα 1 και ο παρουσιαστής του άνοιγε την πόρτα 4 (η οποία δεν αποτελούσε ουσιαστικά επιλογή για έναν ορθολογικό παίκτη), ο παίκτης δε θα είχε λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή.
Βλέπουμε λοιπόν ότι μπορεί να υπάρξουν συνθήκες και με ανισοπίθανα ενδεχόμενα και περισσότερα των τριών (που αποτελούν την κλασσική εκδοχή του προβλήματος) που ο παίκτης να πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή, ενώ μπορεί με τα ίδια ακριβώς ενδεχόμενα να πρέπει να πράξει διαφορετικά κάτω από άλλες συνθήκες. Μόνο αυτή η εις βάθος ανάλυση, η οποία εντοπίζει τους πραγματικούς λόγους που καθιστούν σωστή τη στρατηγική του παίκτη, καλύπτει όλα τα ενδεχόμενα με τρόπο τέτοιο ώστε το γενικευμένο παίγνιο να θεωρείται λυμένο.
Πρέπει φυσικά να παρατηρήσουμε ότι στο συγκεκριμένο παίγνιο ο παρουσιαστής γνωρίζει που είναι το αυτοκίνητο, γιατί αλλιώς οι πιθανότητες του παίκτη αλλοιώνονται – μειώνονται αφού μπορεί ο παρουσιαστής στην προσπάθεια του να ανοίξει μια πόρτα μετά την πρώτη επιλογή του παίκτη να πέσει πάνω στο αυτοκίνητο.
Τέλος οι γνώσεις αυτές σας βοηθούν μόνο όταν το παίγνιο είναι αποσαφηνισμένο ότι θα σας επιτρέπει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή αφού ο παρουσιαστής, ο οποίος ξέρει που είναι το αυτοκίνητο, αποκλείσει κάποιο από τα ενδεχόμενα. Σε διαφορετική περίπτωση, κάποιος που ξέρει ότι κατέχετε τις γνώσεις αυτές, θα μπορούσε γνωρίζοντας ότι με την αρχική σας επιλογή έχετε βρει το αυτοκίνητο (πιθανότητα 1/3), να σας δώσει την επιλογή να αλλάξετε, αφού αποκλείσει ένα από τα άλλα δύο λανθασμένα ενδεχόμενα, γνωρίζοντας ότι θα εγκαταλείψετε την αρχική σας επιλογή, κάτι που όμως μπορεί να μην κάνει σε περίπτωση που δεν έχετε βρει με την αρχική σας επιλογή το αυτοκίνητο (πιθανότητα 2/3). Με αυτό τον τρόπο θα είστε πάντα χαμένοι.